물리 26. 지구의 타원궤도

(1) 지구는 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도를 돌고 있다. 즉 지구의 공전궤도는 원궤도가 아닌데, 이를 증명할 수 있는 방법을 고안하라.

 

(2) 다음은 2001년 11월 10월부터 2002년 10월 26일까지 태양 시직경의 변화를 사진으로 관측한 자료다. 그래프에서 점들은 태양 사진을 통해 실측한 값들이며 실선은 이 값에 가장 가까운 코사인 곡선을 찾은 것이다. 그래프를 보면 태양의 시직경의 크기가 경과일(지구 공전각도)에 따라 변하는 것을 볼 수 있다. 이것을 지구의 공전궤도에 대해 알 수 있는 사실은 무엇인가? 또한 만약 지구가 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 공전을 한다면 지구와 태양 사이의 거리는 타원의 극좌표 방정식을 따를 것이다. 태양의 시직경의 크기는 지구와 태양 사이의 거리와 관련이 있다. 이것을 참조해서 타원의 극좌표 방정식을 이용한다면 태양 시직경은 어떤 방정식으로 표현이 가능할까? 그 방정식을 토대로 그래프를 해석하라.

 

(3) 행성이 태양을 중심으로 케플러 운동을 하고 있다. 이때 태양과 행성P 사이의 거리를 r이라고 할 때, r의 값을 장반경(a)와 진근점이각(θ)와 이심률(e)에 관한 식으로 나타내시오.

 

 

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Solution

원궤도와 비교할 수 있는 타원궤도를 생각해보자. 원궤도가 타원궤도와 다른 점은 궤도 어디에서나 중심(태양)까지의 거리가 일정하다는 것이다. 여기서 생각을 좀 더 확장해보자. 궤도상의 어디서나 중심까지 거리가 일정하다는 점을 증명하기 위해서는 어떤 방법을 이용할 수 있을까? 간단한 방법을 모색하다보면 거리와 크기의 관계에 대해 생각이 미칠 것이다. 일정한 크기라도 관측하는 거리가 멀수록 보이는 크기가 작아진다는 내용으로 말이다. 따라서 만약 지구과 태양 주위를 원운동 한다면 1년 내내 태양의 시직경은 항상 일정해야할 것이다. 이를 검증하기 위해서는 직접 시직경을 측정하거나 사진을 촬영해 1년 동안의 태양의 시직경 변화를 측정해보면 될 것이다.

 

지구의 공전궤도가 원궤도가 아님을 알 수 있다. 만약 지구가 원운동을 한다면 1년 내낸 지구에서 태양까지의 거리는 일정할 것이다. 관측되는 태양의 시직경의 크기는 지구와 태양 사이의 거리에 반비례하는데, 지구에서 태양까지의 거리가 일정하다면 태양 시직경의 크기도 일정할 것이다. 그래프를 보면 태양 시직경의 크기가 변하는 사실을 확인할 수 있는데, 이것은 지구 공전궤도가 원궤도가 아님을 증명하는 것이다. 

 

타원의 극좌표방정식을 활용한다. 이를 토대로 공전 반지름을 계산하고 태양 시직경 D의 크기를 지구에서 태양까지의 거리에 비례한다는 것을 이용해 구한다. 

 

지구 공전궤도가 타원이라는 가정에서 구한 위 결과를 해석하면 태양의 시직경은 코사인 함수의 형태를 보여야 한다. 식을 통해 진폭을 알 수 있다. 이것은 공전궤도가 타원궤도임을 증명하는 것이다.