물리3. 천구와 구면삼각법

다음은 천구를 나타낸 것이다.

구면삼각법을 이용하여 지평좌표계와 적도좌표계 전환을 나타낸 식을 증명하라.

rho : 관측자의 위도 delta : 별의 적위 a: 별의 고도 h : 별의 시간각 A : 별의 방위각 이다.

(1) sin a = sin rho sin delta + cos rho cos delta cos h

 

(2) 별이 뜨거나 질때의 시간각 h에 대하여 : cos h = - tan rho tan delta

 

 

 

3.01. 천구

• 별들의 위치를 정하고 움직임을 예측하기 위해 모든 별이 거대한 구면에 있다고 가정한 것
• 우리는 천구의 중심에 있다고 가정하며, 이러한 가정은 별의 일주와 연주 운동을 이해하는데 도움을 준다.
• 천구의 반지름은 실제로 무한하며, 별들이 천구 상에 있을 때 거리감이 없기 때문에 오직 방향만 나타내는 2개의 좌표만 필요하다.
• 이 좌표계는 우선 천구를 반으로 나누는 기준면을 정하고 어느 고정된 방향 사이의 각과 기준면과 의 각거리로 나타낸다.

 

3.02. 지평좌표계

• 기준면 : 관측자를 지나가고 지구와 접선을 이루는 평면
• 천정 : 관측자 바로 위의 점
• 천저 : 관측자 아래쪽의 반대되는 극에 있는 점
• 수직권 : 천정을 통과하는 대원
• 자오선 : 수직권이면서 시간권이 되는 대원 천정-천저, 천구의 북극-남극을 모두 지나는 대원
• 시간권 : 천구의 북극과 남극을 지나는 대원, 경도선과 일치함.

 

관측자의 지평면이 천구와 교차하는 선이 지평선이 되고, 여기서의 자오선은 어느 지점에 관측자가 서 있을 경 우의 자오선으로 북극과 남극을 제외하고 1개 밖에 없다.

 

• 고도 : 수직권을 따라 지평선에서 천체까지 잰 각 
• 천정거리 : 천체와 천정 사이의 각거리
• 방위각 : 어떤 고정된 방향으로부터 잰 천체의 수직권과 의 각거리, 보통 남점으로부터 시계방향으로 측정함.

 

지평좌표계는 오른쪽 그림과 같이 지역과 시간에 따라 달라지기 때문에 성표에서는 사용할 수 없음.

a) 위도 rho=45°에서 본 밤 사이 별들의 겉보기 운동, b) 같은 별들을 위도 rho =10°에서 본 모습

3.03. 적도좌표계

지구의 자전축 방향은 거의 고정되어 있으므로 적도면도 거의 고정된다.

적도좌표계는 적도면을 이용한 좌표계로 관측자의 시간과 위치에 의존하지 않는 기준면을 잡을 수 있다.

 

• 천구의 적도 : 천구와 적도면이 교차하는 대원
• 천구의 북극 : 지구 자전축의 연장선이 북쪽 하늘에서 천구와 만나는 점
• 적위 δ : 적도면으로부터 잰 별의 각거리
• 적경 α : 춘분점으로부터 반시계 방향으로 잰 각
• 춘분점 γ : 적경을 정의하기 위해 활용한 임의의 방향으로 황도와 천구의 적도가 만나는 한 점
• 시간각 h : 자오선에서 시계 방향으로 측정한 각
• 항성시 Θ : 춘분점의 시간각

어떤 별의 좌표를 정하기 위해서는 그 별의 적경을 관측을 통해 결정해야 한다. 이를 위해서 관측 시점의 춘분점 방향을 알아야 하는데, 이는 날짜와 시간을 통 해 결정할 수 있다. 하지만 별을 관측하며 가상의 춘 분점으로부터의 각거리를 구한다는 것은 쉬운 일이 아니며, 오히려 시간각과 항성시를 이용하여 계산하는 것이 보다 쉬운 방법일 것이다.

3.04. 지평 좌표계와 적도 좌표계의 환산

원리는 구면삼각법에서 나온 것과 같다.

대입 후 정리과정

결과