05.03. 01타일 [Dynamic Programming][백준 1904]

https://www.acmicpc.net/problem/1904

1904번: 01타일

 

Algorithm classification : Dynamic Programming

 

05.03.1. Problem

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

 

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

 

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

 

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

 

05.03.2. Input limit

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

 

05.03.3. Output

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

 

05.03.4. Solution

void cal(int n){
	if(dp[n] != 0) return;
	cal(n-1);
	dp[n] = (dp[n-1] + dp[n-2])%15746;
}

붙일 수 있는 타일의 종류가 1 또는 00입니다. 그렇다면 dp[n]을 n개의 타일로 만들 수 있는 경우의 수라고 정의해보겠습니다. dp[n]은 어떻게 만들어질지 생각해보는 것이 바로 점화식을 구하는 것입니다. 먼저 dp[n-1] 즉, n-1개의 타일로 만들 수 있는 모든 경우에서 1 타일을 붙여 n개의 타일로 구성된 경우를 만들 수 있습니다. 또 하나는 00 타일을 이용하는 것입니다. dp[n-2]가 그것을 의미하겠군요. 여기서 dp[n-2]의 경우에서 1 타일과 1 타일을 연이어 붙이는 것은 이전에 생각하였던 경우이니 고려해줄 필요가 없습니다. 이제 모든 경우를 다 생각했습니다. 타일의 길이가 모두 2의 약수이기 때문에 그것을 보장(증명)할 수 있습니다.

 

사실 피보나치 수열이였군요. 그렇습니다. 문제의 말만 바뀌지 점화식으로 구현하면 피보나치인 경우가 종종 있습니다. 아니면 다른 유명한 점화식, 수열인 경우가 있죠.