호먼 이동 궤도

행성간 탐사선이 행성을 탐사하기 위해 다른 행성으로 가려면 태양의 중력장을 거슬려 가야하기에 에너지를 많이 사용하게 된다. 그러나 가장 작은 에너지만을 사용하여 속도를 증가시켜 충분한 시간을 탐사선이 진행하도록 두면 다른 행성의 공전 궤도로 진입하게 된다.

 

 

아래 그림과 같이 탐사선이 지구와 같이 원점 O에 있는 태양 주위를 공전하고 있다(궤도 1). 어느 순간에 탐사선을 추진하여 탐사선의 속도가 delta(v) 만큼 증가하면, 이 탐사선은 궤도 2로 진입하여 원궤도 3 방향으로 가게 된다. 궤도 2는 타원궤도의 일부이다. 이제 다시 탐사선에 delta(v') 만큼 가속되면 탐사선은 원궤도 3에 진입하여 원운동을 하게 된다. 이를 호만 이동 궤도(Hohmann transfer orbit)라 부른다.

 

 

탐사선의 질량을 m 이라하면 이는 태양의 질량M 보다 매우 작다. 따라서 궤도 2에 해당하는 총에너지 E_2는

이다. 여기서 a = (R+R')/2로 궤도 2의 장반경이다. 정리하면,

인 활력방정식을 얻는다.

원궤도 1에서는 탐사선이

의 속력으로 원운동을 한다. 그러나 이 탐사선이 궤도 2로 진입하려면

의 속력이 되어야 한다. 이 속력은 궤도 2에서의 근일점에서의 속력과 같다. 따라서 에너지를 소비하여

만큼의 속도를 가속 시켜야 한다. (5)식은 RR' < 1면 항상 양의 갓이다. 이제 원궤도 3에 탐사선이 도착하면 이곳은 궤도 2의 원일점에 해당한다. 원궤도 3에서 공전 속도는

이다. 그런데 궤도 2의 원일점에서의 속력은

이다. 따라서

만큼 가속되어야 궤도 3으로 진입할 수 있다. 이제 궤도 1에서 궤도 2를 거쳐 궤도 3으로 진입하는 데 걸리는 시간 t는 궤도 2를 공전하는 주기의 1/2이다. 따라서

이 된다. 원궤도 3의 공전 주기는

이기에 탐사선이 원궤도 3을 공전하고 있는 행성을 만나려면 궤도 2의 원일점에서 theata만큼 전에 위치해 있을 때 궤도 1에서 궤도 2로 탐사선이 진입해야 한다. 원궤도 3에 있는 행성은 P_3의 주기 동안 360°를 공전한다. 하지만 t동안은 theata만큼만 진행한다. 따라서

이다. 이제 지구에서 보았을 때에는 alpha각도만큼의 서방 이각을 행성이 가질 때에 탐사선이 궤도 1에서 출발하여 한다. 이때 alpha의 값은

로 구할 수 있다. 서방 이각을 가지기에 새벽에 남중한다.

이제 탐사선은 원궤도 3을 따라 행성과 같이 움직이면서 행성을 탐사하고 원궤도 1에 있는 지구로 귀환하려고 한다. 탐사선은 궤도 1에서 궤도 2로 갈 때까지 t시간을 허비하고, 탐사하는데 원궤도 3에서 phi의 각도를 돌고 다시 궤도 1로 오면 총 시간은

가 된다. 이 때 궤도 1에 있는 지구는 n바퀴 돌고 phi만큼 더 돌아야 탐사선을 만나게 된다.

정리하면,

가 된다. 이 식의 좌변이 양이 되는 n값을 대입하면 phi값을 구할 수 있고 탐사선의 총 탐사 시간, 탐사선이 귀환할 때의 지구 및 행성의 위치를 구할 수 있다.

 

 

Episode

독일의 월터 호먼 박사는 1925년 ‘천체 도달의 가능성’이라는 논문에서 행성탐험에 관한 비행 방법과 궤도의 계산에 대한 새로운 아이디어를 제시했다. 호먼은 지구가 태양을 도는 공전궤도와 탐험하려고 하는 행성의 공전궤도를 타원으로 연결하는 새로운 비행궤도를 만들어 비행할 것을 제안했는데, 이를 호먼궤도라고 한다. 호먼궤도는 2개의 동일한 평면상의 궤도 사이에 전송하는 가장 연료 효율이 좋은 경로이다.

 

행성들의 공전궤도가 각각 지름이 다른 원궤도라고 가정하자. 지구의 궤도와 화성의 궤도가 같은 평면 상에 있다고 하면 지구에서 화성으로 우주선이 출발할 때의 화성의 위치는 태양을 중심으로 서로 180° 떨어져 있어야 한다. 결과적으로 이 궤도는 태양을 중심으로 한 타원궤도의 근일점이 지구의 궤도와 만나고, 원일점이 화성의 궤도와 만나는 형태가 된다.

이 궤도는 비행하려면 지구의 궤도에서 탈출한 뒤 우주선이 화성을 향해 달릴 때의 속도가 32.73km/s가 되어야 한다. 그런데 우주선을 지구의 공전방향과 같은 방향으로 발사하면 32.73km/s의 속도를 만들 때 지구의 공전 속도인 29.78km/s를 가지고 발사되므로 우주선은 지구의 공전방향과 같은 방향으로 2.95km/s의 속도만 주면 화성으로 갈 수 있다.

케플러의 제2법칙에서 근일점에서는 속도가 빨라지고 원일점에서는 느려지게 된다. 호먼궤도의 경우 장축의 길이는 1.52+1.0=2.52AU이다. 우리는 장반경의 길이를 알고 있으므로 케플러의 제3법칙으로부터 우주선의 궤도 주기를 구할 수 있다.

 

 

Quiz

(1) 화성과 지구의 궤도는 동일 평면상에 있는 원 궤도로 가정하고 탐사선이 화성까지 도달하는데 필요한 시간은 얼마인가?

 

(2) 호먼궤도를 이용하여 화성으로 가기 위해서는 현재 지구의 위치는 호먼궤도 상의 근일점에 위치해야 한다. 탐사선 도착 시 화성의 위치는 현재 지구의 반대쪽 원일점에 위치해 있어야 한다. 탐사선이 호먼궤도를 따라 화성M1에 도달하기 위해서는 지구(E1)와 화성(M)이 위치할 때 탐사선이 출발해야 한다. 이때 화성과 지구가 이루는 각 θ1은 몇 도인가?

 

(3) 화성에 도착한 우주인들이 지구로 되돌아오기 위해서도 역시 호먼궤도를 이용하는 것이 가장 경제적이다. 화성에 도착하게 되면 언제라도 지구로 되돌아올 수 있는 것은 아니다. 탐사선이 화성(M1)에 도착하면 지구는 E2에 위치하게 된다. 호먼궤도를 이용하여 지구로 돌아오기 위하여 지구(E1)와 화성(M2)이 서로 반대 방향인 근일점과 원일점에 위치해야 한다. 우주인이 호먼궤도를 이용해 지구로 귀환하고자 할 때, 화성에서 얼마나 머무른 후 출발해야 하는지 구하라.

 

(4) 화성에 일정기간 머문 우주인이 호먼궤도를 이용하여 지구로 돌아오려 한다. 화성에서 우주인이 출발할 때 지구(E3)와 화성(M3)의 위치를 표시하라. 그리고 가장 가까운 출발 일자, 지구에 도착하는 날자, 화성을 왕복하는데 걸린 시간을 구하라.